与平行四边形有关的辅助线，掌握这些就可以了！

海园李

　数姐有话　　特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.
　　一、 和平行四边形有关的辅助线作法
　　平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.
　　1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形
　　例1 、如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.
　　求证:OE与AD互相平分.
　　
　　分析:
　　因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证.
　　证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，
　　所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点，
　　所以A0//ED，AO=ED,
　　所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分.
　　说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.
　　2．利用两组对边平行构造平行四边形
　　例2、 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.
　　
　　分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.
　　证明:过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG,
　　所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.
　　说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.
　　3．利用对角线互相平分构造平行四边形
　　例3 、如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.
　　分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.
　　证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，
　　因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，
　　所以AC=BG，
　　AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF，
　　所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，
　　所以BF=BG=AC.
　　
　　
　　图3 图4
　　说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.
　　二、和菱形有关的辅助线的作法
　　和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.
　　例4 、如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.
　　
　　分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是∠BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE.
　　求AD平分CE.
　　证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，
　　因为AO平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因为EF//CD，所以∠1=∠2，
　　又因为∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.
　　例5、如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.
　　
　　分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.
　　证明：连结BD、DF.
　　因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，
　　所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，
　　当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长.
　　说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.
　　三、 与矩形有辅助线作法
　　和矩形有关的题型一般有两种：
　　（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；
　　（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.
　　例6、如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.
　　
　　分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.
　　解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G.
　　因为四边形ABCD是矩形，
　　所以PF2=CH2=PC2-PH2，
　　DF2=AE2=AP2-EP2，
　　PH2+PE2=BP2，
　　所以 PD2=PC2-PH2+AP2-EP2
　　=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，
　　所以 PD=3
　　.
　　说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长.
　　四、与正方形有关辅助线的作法
　　正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.
　　例7、如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=
　　∠AEB.
　　分析：由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=
　　AC，
　　可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°.
　　
　　证明：连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H.
　　在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，
　　又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，
　　所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=
　　AC，
　　因为AE=AC，所以∠AEH=30°，
　　因为BE//AC，AE//CF，
　　所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，
　　因为AC是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，
　　所以∠BCF=15°，
　　所以∠BCF=
　　∠AEB.
　　说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.
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